2.1 Aus 1 und 1 mach 10

Grundrechenarten mal binär

Rechnen im Binärsystem erscheint anfangs abenteuerlich. Das vom Alltag gewohnte dezimale Rechnen versagt hier leider völlig, und man sollte sich möglichst schnell davon lösen, wenn man sich das Leben nicht unnötig erschweren möchte. So ergibt die binäre Addition von 1101₂ und 101₂ keineswegs 1202₂. Denn in einer binären Zahl hat das Symbol 2 nun wirklich nichts verloren. Aber: wie gehts sonst?

• Addition / Subtraktion (Symbole + und - ):
  
  Was Addition und Subtraktion betrifft, wird die Lösung klar, wenn man sich an die schriftliche Rechnung aus Grundschulzeiten erinnert. Die Rechnung mit einem Übertrag ist der Königsweg, um in jedem polyadischen System solche Operationen durchführen zu können. Hier exemplarisch an den obigen Werten, bevor die Erklärung folgt:
  
  

  .	11012
  +	1012
  -----	---------------
  .	100102

  
  Wie man sieht, wird hier als Obergrenze, ab der ein Übertrag erfolgt, nicht die Zahl 10 (dezimal), sondern die Zahl 2 benutzt - schließlich rechnen wir im dualen System. So erklärt sich zum Beispiel, warum die letzte Stelle zu 0 wird: Die dezimal übliche 2 ist nicht möglich und wird so an der nächst höheren Stelle als Übertrag der Höhe 1 einbezogen.
  
  
  
• Shiften (Multiplikation / Division mit 2ⁿ, Symbole << und >> )
  
  Multiplikationen und restlose Divisionen mit 2ⁿ sind im Binärsystem sehr einfach. Sie entsprechen dem Schema für Operationen mit 10ⁿ, im Dezimalsystem. Möchte man im Dezimalsystem eine Zahl mit 100, also 10²₁₀ multiplizieren, verschiebt man alle Stellen der Zahl um die Höhe des Exponenten nach links (also 2 Stellen) und füllt hinten mit 0 auf. Die Division ist vergleichbar - nur wird hier nach rechts verschoben.
  
  Beispiel:
  Um 1001₂ mit (dezimal) 8 (= 2³) zu multiplizieren, reicht es aus, die Zahl um 3 Stellen nach links zu shiften. Das Ergebnis lautet also: 1001000₂. Probe: 1001₂ entspricht 9₁₀, multipliziert mit 8₁₀ ergibt das 72₁₀, und das wiederum ist 1001000₂.Das Ergebnis stimmt.
  
  
  
• Multiplikation (mit beliebigen Zahlen)
  
  Auch die Multiplikation lässt sich am besten an der schriftlichen Form aus der Grundschule erläutern. Das Verfahren besteht aus einer Kombination von Addition und Shifting. Dabei wird der Multiplikator (2. Zahl) von rechts nach links untersucht. Mit jeder Stelle, die man sich von rechts nach links vorarbeitet, erhöht man im Kopf einen Zähler. Ist einmal eine Stelle des Multiplikators gleich 1, dann shiftet man den Multiplikanden (1. Zahl) um den gemerkten Zähler nach links, notiert die Zahl und fährt fort. Auf diese Weise ergibt sich eine Liste von geshifteten Multiplikanden. Addiert man schließlich alle diese Zahlen auf, erhält man das Endprodukt. Beispielsweise so:
  
  
  

  .	101100102 * 11012
  --------	------------------------------------
  .	10110010
  .	00
  .	1011001000
  +	10110010000
  --------	------------------------------------
  .	100100001010